Matura Rozszerzona: Bezkompromisowy Trening CKE

1. $\sqrt{11 - 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 - \sqrt{2})^2} = |3 - \sqrt{2}| = 3 - \sqrt{2}$ (ponieważ $3 = \sqrt{9} > \sqrt{2}$).

2. $\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} = |3 + \sqrt{2}| = 3 + \sqrt{2}$.

3. $W = (3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 6$.

1. $\left(x + \frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x}\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$.

2. Podstawiamy wartość $x + \frac{1}{x} = 3$: $3^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(3)$.

3. $27 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 9 \implies x^3 + \frac{1}{x^3} = 27 - 9 = 18$.

1. $(\sqrt{2} + 1)^3 = (\sqrt{2})^3 + 3(\sqrt{2})^2(1) + 3\sqrt{2}(1)^2 + 1 = 2\sqrt{2} + 6 + 3\sqrt{2} + 1 = 5\sqrt{2} + 7$.

2. Analogicznie $(\sqrt{2} - 1)^3 = 5\sqrt{2} - 7$.

3. Stąd $A = \sqrt[3]{(\sqrt{2} + 1)^3} - \sqrt[3]{(\sqrt{2} - 1)^3} = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2 \in \mathbb{C}$.

1. Wyrażenie $a^2 + ab + b^2 = (a - b)^2 + 3ab$.

2. $a - b = (\sqrt{3} + 1) - (\sqrt{3} - 1) = 2$.

3. $ab = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1) = 3 - 1 = 2$.

4. Wartość ułamka: $2^2 + 3(2) = 4 + 6 = 10$.

1. $|2 - \sqrt{3}| = 2 - \sqrt{3}$, bo $2 > \sqrt{3}$.

2. $|5 - \sqrt{3}| = 5 - \sqrt{3}$, bo $5 > \sqrt{3}$.

3. Wyrażenie: $(2 - \sqrt{3}) + (5 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} = 7 - 3\sqrt{3}$.

1. $x < -1$: $-(2x - 6) - (x + 1) \le x + 7 \implies -4x \le 2 \implies x \ge -\frac{1}{2}$. Część wspólna: $\emptyset$.

2. $x \in [-1, 3)$: $-(2x - 6) + (x + 1) \le x + 7 \implies -2x \le 0 \implies x \ge 0$. Część wspólna: $[0, 3)$.

3. $x \ge 3$: $(2x - 6) + (x + 1) \le x + 7 \implies 2x \le 12 \implies x \le 6$. Część wspólna: $[3, 6]$.

4. Suma zbiorów cząstkowych: $\emptyset \cup [0, 3) \cup [3, 6] = [0, 6]$.

1. $x < -2$: $-(3x-6) - (-(x+2)) \ge 2x-8 \implies -2x+8 \ge 2x-8 \implies x \le 4$. Część wspólna: $(-\infty, -2)$.

2. $x \in [-2, 2)$: $-(3x-6) - (x+2) \ge 2x-8 \implies -4x+4 \ge 2x-8 \implies x \le 2$. Część wspólna: $[-2, 2)$.

3. $x \ge 2$: $(3x-6) - (x+2) \ge 2x-8 \implies 2x-8 \ge 2x-8 \implies 0 \ge 0$ (tożsamość). Część wspólna: $[2, +\infty)$.

4. Suma: $(-\infty, -2) \cup [-2, 2) \cup [2, +\infty) = \mathbb{R}$.

1. $x < -1$: $-(x - 3) - 2(x + 1) = 5 \implies -3x + 1 = 5 \implies x = -\frac{4}{3} \in (-\infty, -1)$.

2. $x \in [-1, 3)$: $-(x - 3) + 2(x + 1) = 5 \implies x + 5 = 5 \implies x = 0 \in [-1, 3)$.

3. $x \ge 3$: $(x - 3) + 2(x + 1) = 5 \implies 3x - 1 = 5 \implies x = 2 \notin [3, +\infty)$ (odrzucamy).

1. $x < -3$: $-x + 2 - x - 3 < 7 \implies -2x < 8 \implies x > -4$. Część wspólna: $(-4, -3)$.

2. $x \in [-3, 2)$: $-x + 2 + x + 3 < 7 \implies 5 < 7$ (prawda). Część wspólna: $[-3, 2)$.

3. $x \ge 2$: $x - 2 + x + 3 < 7 \implies 2x < 6 \implies x < 3$. Część wspólna: $[2, 3)$.

4. Suma: $(-4, -3) \cup [-3, 2) \cup [2, 3) = (-4, 3)$.

1. $x < -2$: $-(2x + 4) - (-(x - 1)) \le 3 - x \implies -x - 5 \le 3 - x \implies -5 \le 3$ (prawda). Część wspólna: $(-\infty, -2)$.

2. $x \in [-2, 1)$: $(2x + 4) + (x - 1) \le 3 - x \implies 3x + 3 \le 3 - x \implies 4x \le 0 \implies x \le 0$. Część wspólna: $[-2, 0]$.

3. $x \ge 1$: $(2x + 4) - (x - 1) \le 3 - x \implies x + 5 \le 3 - x \implies 2x \le -2 \implies x \le -1$. Część wspólna: $\emptyset$.

4. Suma rozwiązań: $(-\infty, -2) \cup [-2, 0] \cup \emptyset = (-\infty, 0]$.

1. Wykres $f(x)$ powstaje z $y=|x|$ przez translację o $[1, -3]$ i odbicie symetryczne części poniżej $Ox$.

2. Wykres ma kształt litery "W" z lokalnym szczytem w $(1, 3)$ i minimami w $(-2, 0)$ oraz $(4, 0)$.

3. Prosta $y = k$ przecina wykres w dokładnie 3 punktach wtedy i tylko wtedy, gdy przechodzi przez wierzchołek lokalny: $k = 3$.

4. Równanie: $m^2 - 2m = 3 \iff m^2 - 2m - 3 = 0 \iff (m - 3)(m + 1) = 0 \implies m = 3 \lor m = -1$.

1. Dla $m < 0$: $0$ rozwiązań (brak punktów wspólnych).

2. Dla $m = 0$: $2$ rozwiązania ($x = -6, x = 2$).

3. Dla $m \in (0, 4)$: $4$ rozwiązania (prosta przecina 4 ramiona).

4. Dla $m = 4$: $3$ rozwiązania (przejście przez wierzchołek $(-2, 4)$ i 2 ramiona zewnętrzne).

5. Dla $m > 4$: $2$ rozwiązania.

1. Po nałożeniu modułu wierzchołek zostaje odbity do punktu $(0, 4)$.

2. Miejsca zerowe $x = -2, x = 2$ pozostają minimami o wartości $0$.

3. Prosta pozioma $y = m$ przecina wykres w 4 różnych punktach dokładnie wtedy, gdy leży ściśle między zerem a wierzchołkiem odbitym: $m \in (0, 4)$.

1. Przypadek $p = 0$: $2k + 1 = 0 \implies k = -\frac{1}{2}$.

2. Przypadek $p > 2$: $2k + 1 > 2 \implies 2k > 1 \implies k > \frac{1}{2}$.

3. Suma warunków: $k \in \left\{-\frac{1}{2}\right\} \cup \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)$.

1. Rozwiązujemy równanie: $2x - 4 = a - 1 \lor 2x - 4 = -(a - 1)$.

2. $2x = a + 3 \implies x_1 = \frac{a + 3}{2}$; $2x = 5 - a \implies x_2 = \frac{5 - a}{2}$.

3. Iloczyn: $x_1 \cdot x_2 < 0 \iff \frac{(a + 3)(5 - a)}{4} < 0 \iff -(a + 3)(a - 5) < 0 \iff (a + 3)(a - 5) > 0$.

4. Stąd $a \in (-\infty, -3) \cup (5, +\infty)$.

5. Koniunkcja z warunkiem $a > 1$: $a \in (5, +\infty)$.

1. Wyrażenie $(n - 1)n(n + 1)$ to iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych.

2. Wśród dowolnych trzech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest podzielna przez 2 oraz dokładnie jedna jest podzielna przez 3.

3. Ponieważ $\operatorname{NWD}(2, 3) = 1$, iloczyn ten jest podzielny przez $2 \cdot 3 = 6$. $\blacksquare$

1. Podstawiamy $n = 2k + 1$: $(2k)(2k + 2)(2k + 4) = 8k(k + 1)(k + 2)$.

2. Czynnik $k(k + 1)$ to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, z których jedna jest parzysta: $k(k + 1) = 2l$ dla $l \in \mathbb{C}$.

3. Stąd $P = 8 \cdot 2l \cdot (k + 2) = 16 \cdot l(k + 2)$, co oznacza, że $P$ jest podzielne przez $16$. $\blacksquare$

1. Iloczyn $(n - 1)n(n + 1)$ trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez 6.

2. Podzielność przez 5: każda liczba $n$ przy dzieleniu przez 5 daje resztę $0, 1, 2, 3$ lub $4$.

3. Dla reszt $0, 1, 4$ czynnik $(n - 1)n(n + 1)$ jest podzielny przez 5.

4. Dla reszt $2$ i $3$: $n = 5k \pm 2 \implies n^2 + 1 = (5k \pm 2)^2 + 1 = 25k^2 \pm 20k + 5 = 5(5k^2 \pm 4k + 1)$ dzieli się przez 5.

5. Liczba dzieli się przez 6 i przez 5, więc dzieli się przez $6 \cdot 5 = 30$. $\blacksquare$

1. Wyrażenie jest iloczynem czterech kolejnych liczb całkowitych.

2. Wśród czterech kolejnych liczb całkowitych dokładnie jedna jest podzielna przez 4 oraz co najmniej jedna inna jest podzielna przez 2, zatem iloczyn dzieli się przez $4 \cdot 2 = 8$.

3. Wśród czterech kolejnych liczb całkowitych co najmniej jedna jest podzielna przez 3.

4. Ponieważ $\operatorname{NWD}(8, 3) = 1$, iloczyn dzieli się przez $8 \cdot 3 = 24$. $\blacksquare$

1. $S = (n - 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = (n^3 - 3n^2 + 3n - 1) + n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) = 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2)$.

2. Wystarczy dowieść, że $n(n^2 + 2)$ dzieli się przez 3:

- jeśli $n = 3k$, to $3 \mid n$.

- jeśli $n = 3k \pm 1$, to $n^2 + 2 = (3k \pm 1)^2 + 2 = 9k^2 \pm 6k + 3 = 3(3k^2 \pm 2k + 1)$ dzieli się przez 3.

3. Skoro $3 \mid n(n^2 + 2)$, to $3 \cdot 3 \mid 3n(n^2 + 2) \implies 9 \mid S$. $\blacksquare$

1. Wyznacznik główny: $W = \begin{vmatrix} m - 1 & 2 \\ 1 & m \end{vmatrix} = m(m - 1) - 2 = m^2 - m - 2 = (m - 2)(m + 1)$.

2. $W = 0 \iff m = 2 \lor m = -1$.

3. Sprawdzamy wyznaczniki zmiennych:

- Dla $m = 2$: $W_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$, $W_y = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \implies$ nieskończenie wiele rozwiązań.

- Dla $m = -1$: $W_x = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -1 - 2 = -3 \neq 0 \implies$ układ sprzeczny.

1. Rozwiązujemy równanie: $\Delta = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 25 \implies m_1 = -1 \lor m_2 = \frac{3}{2}$.

2. Sprawdzamy punkt przecięcia $P(x_0, y_0)$:

- Dla $m = -1$: $y = 3 - 3x$, wstawiamy do $l_2$: $-x + 3(3 - 3x) - 5 = 0 \implies -10x + 4 = 0 \implies x_0 = \frac{2}{5} > 0$ (I lub IV ćwiartka, sprzeczność).

- Dla $m = \frac{3}{2}$: $l_1: 2x - y + 3 = 0 \implies y = 2x + 3$. Wstawiamy do $l_2$: $\frac{3}{2}x + 3(2x + 3) - 5 = 0 \implies \frac{15}{2}x + 4 = 0 \implies x_0 = -\frac{8}{15} < 0$.

Wtedy $y_0 = 2\left(-\frac{8}{15}\right) + 3 = \frac{29}{15} > 0$ (II ćwiartka, warunek spełniony!).

1. Porównujemy współczynniki wielomianów: $a^2x + (ab + b) = 4x - 9$.

2. $a^2 = 4 \implies a = 2 \lor a = -2$. Ponieważ $a < 0$, otrzymujemy $a = -2$.

3. Wyraz wolny: $ab + b = -9 \implies -2b + b = -9 \implies -b = -9 \implies b = 9$.

1. Dodajemy równania stronami: $2x = (m + 1) + (3 - m) = 4 \implies x = 2$.

2. Odejmujemy równania stronami: $2y = (m + 1) - (3 - m) = 2m - 2 \implies y = m - 1$.

3. Nierówność koła: $2^2 + (m - 1)^2 < 13 \iff 4 + (m - 1)^2 < 13 \iff (m - 1)^2 < 9$.

4. $|m - 1| < 3 \iff -3 < m - 1 < 3 \iff -2 < m < 4$.

1. Wyznaczamy miejsce zerowe: $(m^2 - 4)x + m - 2 = 0 \implies x_0 = \frac{-(m - 2)}{(m - 2)(m + 2)} = -\frac{1}{m + 2}$ (dla $m \neq 2$).

2. Warunek $x_0 < 1$: $-\frac{1}{m + 2} < 1 \iff \frac{1}{m + 2} + 1 > 0 \iff \frac{m + 3}{m + 2} > 0 \iff (m + 3)(m + 2) > 0$.

3. Z nierówności wymiernej: $m \in (-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)$.

4. Część wspólna z warunkiem monotoniczności $m \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$: $m \in (-\infty, -3) \cup (2, +\infty)$.

1. Ponieważ $a = -2 < 0$, ramiona paraboli skierowane są w dół, więc w wierzchołku funkcja osiąga maksimum: $f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 1 = -8 + 16 + 1 = 9$.

2. Wartości na krańcach przedziału: $f(0) = 1$, $f(3) = -2(9) + 8(3) + 1 = 7$.

3. Porównanie: najmniejsza wartość to $1$ (dla $x = 0$), a największa to $9$ (dla $x = 2$).

1. Wyznaczamy $a$: $f(4) = 0 \implies a(4 - 2)^2 - 4 = 0 \implies 4a = 4 \implies a = 1$.

2. Postać ogólna: $f(x) = (x - 2)^2 - 4 = x^2 - 4x + 4 - 4 = x^2 - 4x$.

3. Nierówność: $x^2 - 4x \le 5 \iff x^2 - 4x - 5 \le 0 \iff (x - 5)(x + 1) \le 0$.

4. Rozwiązanie nierówności: $x \in \langle -1, 5 \rangle$.

1. Wymnażamy: $(x + 3)(x - 5) = x^2 - 2x - 15 \implies b = -2, c = -15$.

2. Wierzchołek paraboli $f$: $p = \frac{-3 + 5}{2} = 1$, $q = f(1) = 1 - 2 - 15 = -16$.

3. Wykres funkcji $g(x)$ jest przesunięty o 7 jednostek w górę: $q_g = -16 + 7 = -9$.

4. Ponieważ ramiona są skierowane w górę ($a = 1 > 0$), zbiór wartości $g$ to $\langle -9, +\infty)$.

1. Dzielimy sumę przez 2: $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-\frac{b}{a}}{2} = -\frac{b}{2a} = p$.

2. Wstawiamy $p = -\frac{b}{2a}$ do wzoru funkcji: $f(p) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = a \cdot \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c = \frac{b^2}{4a} - \frac{2b^2}{4a} + \frac{4ac}{4a}$.

3. Sprowadzamy do wspólnego mianownika: $\frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} = q$. $\blacksquare$

1. Wyznaczamy $a$ z punktu $A(3, -5)$: $-5 = a(3 - 1)^2 + 3 \implies 4a + 3 = -5 \implies 4a = -8 \implies a = -2$.

2. Wzór funkcji: $f(x) = -2(x - 1)^2 + 3$.

3. Badamy przedział $\langle -1, 2 \rangle$: wierzchołek $p = 1 \in \langle -1, 2 \rangle$, więc wartość największa to $f(1) = 3$.

4. Wartości na krańcach: $f(-1) = -2(-1 - 1)^2 + 3 = -8 + 3 = -5$; $f(2) = -2(2 - 1)^2 + 3 = 1$.

5. Najmniejsza wartość w przedziale to $f(-1) = -5$.

1. Równanie zmiennej $t$: $t^2 - 4t + 3 = 0 \iff (t - 1)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 1, t_2 = 3$.

2. Oba pierwiastki spełniają warunek $t \ge 0$.

3. Powrót do zmiennej $x$:

- $|x| = 1 \implies x = 1 \lor x = -1$.

- $|x| = 3 \implies x = 3 \lor x = -3$.

1. Dla $x \ge 0$ stosujemy tożsamość $|w| \le c \iff -c \le w \le c$:

$$-2x \le x^2 - 3x \le 2x$$

2. Pierwsza nierówność: $x^2 - 3x \ge -2x \iff x^2 - x \ge 0 \iff x(x - 1) \ge 0 \implies x \in (-\infty, 0\rangle \cup \langle 1, +\infty)$.

3. Druga nierówność: $x^2 - 3x \le 2x \iff x^2 - 5x \le 0 \iff x(x - 5) \le 0 \implies x \in \langle 0, 5 \rangle$.

4. Koniunkcja z $x \ge 0$: $\langle 0, 5 \rangle \cap ((-\infty, 0\rangle \cup \langle 1, +\infty)) = \{0\} \cup \langle 1, 5 \rangle$.

1. Podnosimy obustronnie do kwadratu dla $x \in D$: $x + 2 = x^2$.

2. $x^2 - x - 2 = 0 \iff (x - 2)(x + 1) = 0 \implies x = 2 \lor x = -1$.

3. Sprawdzamy zgodność z dziedziną $D$: $2 \ge 0$ (spełnia), natomiast $-1 < 0$ (pierwiastek obcy, odrzucamy!).

1. $x \ge \frac{3}{2}$: $x^2 - (2x - 3) \ge 1 \iff x^2 - 2x + 2 \ge 0$. Wyróżnik $\Delta = 4 - 8 = -4 < 0, a = 1 > 0 \implies$ spełniona dla wszystkich $x \in \mathbb{R}$. Część wspólna: $\langle \frac{3}{2}, +\infty)$.

2. $x < \frac{3}{2}$: $x^2 - (-(2x - 3)) \ge 1 \iff x^2 + 2x - 4 \ge 0$.

$\Delta = 4 + 16 = 20 \implies x_1 = -1 - \sqrt{5}, x_2 = -1 + \sqrt{5} \approx 1{,}24 < \frac{3}{2}$.

Część wspólna: $(-\infty, -1 - \sqrt{5}\rangle \cup \langle -1 + \sqrt{5}, \frac{3}{2})$.

3. Suma przypadków: $(-\infty, -1 - \sqrt{5}\rangle \cup \langle -1 + \sqrt{5}, +\infty)$.

1. Rozkładamy trójmian: $(t - 2)(t - 3) = 0 \implies t_1 = 2 \lor t_2 = 3$.

2. Przypadek 1: $x^2 - 1 = 2 \iff x^2 = 3 \iff x = -\sqrt{3} \lor x = \sqrt{3}$.

3. Przypadek 2: $x^2 - 1 = 3 \iff x^2 = 4 \iff x = -2 \lor x = 2$.

1. Przypadek 1: $m - 2 = 0 \iff m = 2$. Równanie przyjmuje postać: $-2x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$ (dokładnie jedno rozwiązanie! Zatem $m = 2$ spełnia warunki).

2. Przypadek 2: $m \neq 2$. Równanie jest kwadratowe i ma jedno rozwiązanie $\iff \Delta = 0$.

$\Delta = (-2)^2 - 4(m - 2)(1) = 4 - 4m + 8 = 12 - 4m = 0 \iff 4m = 12 \iff m = 3$.

3. Suma przypadków: $m = 2$ lub $m = 3$.

1. $\Delta = 16 - 4(m + 1)(m - 2) = -4m^2 + 4m + 24 > 0 \iff m^2 - m - 6 < 0 \iff (m - 3)(m + 2) < 0 \implies m \in (-2, 3) \setminus \{-1\}$.

2. Warunek sumy: $\frac{4}{m + 1} > 2 \iff \frac{2 - 2m}{m + 1} > 0 \iff (1 - m)(m + 1) > 0 \implies m \in (-1, 1)$.

3. Warunek iloczynu: $x_1x_2 - (x_1 + x_2) + 1 > 0 \iff \frac{m - 2}{m + 1} - \frac{4}{m + 1} + 1 > 0 \iff \frac{2m - 5}{m + 1} > 0 \implies m \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$.

4. Część wspólna warunków sumy $(-1, 1)$ i iloczynu $(-\infty, -1) \cup (5/2, +\infty)$ jest zbiorem pustym $\emptyset$.

1. Dla $m = 1$: $0x^2 + 2(1)x + 3 = 0 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}$ (istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, więc $m = 1$ spełnia warunki!).

2. Dla $m \neq 1$: równanie kwadratowe ma co najmniej jedno rozwiązanie $\iff \Delta \ge 0$.

$\Delta = (2m)^2 - 4(m - 1)(m + 2) = 4m^2 - 4(m^2 + m - 2) = -4m + 8 \ge 0 \iff 4m \le 8 \iff m \le 2$.

3. Łącząc przypadek $m \le 2$ (dla $m \neq 1$) oraz przypadek $m = 1$, otrzymujemy $m \in (-\infty, 2\rangle$.

1. Dla $m = 1$: $-4x + 1 = 0 \implies x = \frac{1}{4} \in \langle 0, 2 \rangle$ (spełnia warunki zadania!).

2. Dla $m = -1$: $1 = 0$ (sprzeczność, brak rozwiązań).

3. Dla $m \neq \pm 1$: $\Delta = 4(m + 1)^2 - 4(m^2 - 1) = 8(m + 1) > 0 \implies m > -1$.

Dokładnie jeden pierwiastek w $\langle 0, 2 \rangle$: $f(0) \cdot f(2) \le 0 \iff 1 \cdot [4(m^2 - 1) - 4(m + 1) + 1] \le 0 \iff 4m^2 - 4m - 7 \le 0$.

4. $\Delta_m = 16 + 112 = 128 \implies m \in \left\langle \frac{1 - 2\sqrt{2}}{2}, \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} \right\rangle$. Ponieważ $\frac{1 - 2\sqrt{2}}{2} \approx -0{,}91 > -1$, warunek $m > -1$ jest spełniony, a punkt $m = 1$ z przypadku liniowego domyka zbiór.

1. Wyznaczamy pierwiastki jawnie: $x_1 = \frac{2m - 4}{2} = m - 2$, $x_2 = \frac{2m + 4}{2} = m + 2$.

2. Warunek przynależności do przedziału $(-3, 5)$:

- Mniejszy pierwiastek: $m - 2 > -3 \implies m > -1$.

- Większy pierwiastek: $m + 2 < 5 \implies m < 3$.

3. Część wspólna: $m \in (-1, 3)$.

1. Korzystając z $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, mamy: $1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{7}{4} \implies 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{3}{4}$.

2. Rozważamy kwadrat szukanego wyrażenia: $|\sin \alpha - \cos \alpha|^2 = (\sin \alpha - \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha$.

3. Wstawiamy wartość iloczynu: $|\sin \alpha - \cos \alpha|^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.

4. Pierwiastkujemy: $|\sin \alpha - \cos \alpha| = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

1. $W = \frac{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - 2}{3\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + 1} = \frac{\operatorname{tg} \alpha - 2}{3\operatorname{tg} \alpha + 1}$.

2. Podstawiamy $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{3}{4}$: Licznik: $-\frac{3}{4} - 2 = -\frac{11}{4}$.

3. Mianownik: $3\left(-\frac{3}{4}\right) + 1 = -\frac{9}{4} + 1 = -\frac{5}{4}$.

4. Iloraz: $W = \frac{-\frac{11}{4}}{-\frac{5}{4}} = \frac{11}{5} = 2{,}2$.

1. Mianownik lewej strony ze wzoru na cosinus podwojony: $\cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)$.

2. Wtedy $L = \frac{(\cos \alpha + \sin \alpha)^2}{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)} = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha}$.

3. Dzielimy licznik i mianownik przez $\cos \alpha \neq 0$: $L = \frac{1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{1 + \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg} \alpha} = P$. $\blacksquare$

$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1^2 - 2(\sin \alpha \cos \alpha)^2 = 1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = \frac{7}{8}$.

$\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)(\sin^4 \alpha - \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha) = 1 \cdot \left(\frac{7}{8} - \left(\frac{1}{4}\right)^2\right) = \frac{7}{8} - \frac{1}{16} = \frac{14 - 1}{16} = \frac{13}{16}$. $\blacksquare$

1. Podstawienie $t = \cos \alpha \in [-1, 0]$ (ponieważ $\alpha$ leży w II ćwiartce): $2t^2 + 5t + 2 = 0$.

2. $\Delta = 25 - 16 = 9$, $t_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2$ (odrzucamy, $-2 < -1$), $t_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2} \in [-1, 0]$. Zatem $\cos \alpha = -\frac{1}{2}$.

3. Wyznaczamy $\sin \alpha$: w II ćwiartce $\sin \alpha > 0$, więc $\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

4. Obliczamy $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. $\cos\left(\frac{13\pi}{6}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.

3. $\sin\left(-\frac{7\pi}{3}\right) = -\sin\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$W = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -1$.

1. $\sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x$ (zmiana na kofunkcję, III ćw. gdzie sinus jest ujemny).

2. $\cos(\pi - x) = -\cos x$ (II ćw. gdzie cosinus jest ujemny).

3. $\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\operatorname{ctg} x = -\frac{\cos x}{\sin x}$ (zmiana na kofunkcję, II ćw. gdzie tangens jest ujemny).

4. $\sin(\pi + x) = -\sin x$ (III ćw. gdzie sinus jest ujemny).

Licznik: $(-\cos x)(-\cos x) = \cos^2 x$.

Mianownik: $\left(-\frac{\cos x}{\sin x}\right)(-\sin x) = \cos x$.

Iloraz: $E(x) = \frac{\cos^2 x}{\cos x} = \cos x$.

1. $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma = 6^2 + 10^2 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \cos(120^\circ)$.

2. $\cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2}$.

3. $c^2 = 36 + 100 - 120 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 136 + 60 = 196$.

4. Ponieważ $c > 0$, otrzymujemy $c = \sqrt{196} = 14$.

1. Mnożymy przez $-2$ (zmiana zwrotu): $2 \ge -2\cos u \ge -2 \iff -2 \le -2\cos u \le 2$.

2. Dodajemy 3 do wszystkich stron: $3 - 2 \le 3 - 2\cos u \le 3 + 2$.

3. Otrzymujemy: $1 \le f(x) \le 5$.

4. Ponieważ cosinus przyjmuje w sposób ciągły wszystkie wartości z $[-1, 1]$, zbiorem wartości jest cały przedział domknięty $[1, 5]$.

1. $2x = -\frac{\pi}{4} + k\pi \iff x = -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$.

2. Podstawiamy kolejne wartości $k \in \mathbb{Z}$:

• $k = 0 \implies x = -\frac{\pi}{8} \notin [0, 2\pi]$

• $k = 1 \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{4\pi}{8} = \frac{3\pi}{8} \in [0, 2\pi]$

• $k = 2 \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{8\pi}{8} = \frac{7\pi}{8} \in [0, 2\pi]$

• $k = 3 \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{12\pi}{8} = \frac{11\pi}{8} \in [0, 2\pi]$

• $k = 4 \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{16\pi}{8} = \frac{15\pi}{8} \in [0, 2\pi]$

• $k = 5 \implies x = \frac{19\pi}{8} > 2\pi$ (odrzucamy).

1. Ponieważ $\alpha$ jest ostry: $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$.

2. Ponieważ $\beta$ jest ostry: $\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$.

$\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20 - 36}{65} = -\frac{16}{65}$.

Ponieważ $\alpha, \beta \in (0, \frac{\pi}{2})$, to $\alpha + \beta \in (0, \pi)$. Wartość $\cos(\alpha + \beta) = -\frac{16}{65} < 0$, co oznacza, że kąt $\alpha + \beta$ jest kątem rozwartym ($\alpha + \beta \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$).

1. $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$.

2. Analogicznie $\cos(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

3. $\operatorname{tg}(15^\circ) = \frac{\sin 15^\circ}{\cos 15^\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2}{6 - 2} = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{4} = 2 - \sqrt{3}$.

$\sin \alpha - \sin \beta = 2\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$ oraz $\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)$.

1. Licznik: $\sin(3x) - \sin x = 2\sin\left(\frac{3x - x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x + x}{2}\right) = 2\sin x \cos(2x)$.

2. Mianownik: $\cos(3x) + \cos x = 2\cos\left(\frac{3x + x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x - x}{2}\right) = 2\cos(2x)\cos x$.

3. Ponieważ $x \in (0, \pi/4)$, to $2x \in (0, \pi/2)$, więc $\cos(2x) \neq 0$. Skracamy przez $2\cos(2x)$:

$L = \frac{2\sin x \cos(2x)}{2\cos(2x)\cos x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x = P$. $\blacksquare$

1. $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha \implies 2\sin^2 \alpha = 1 - \frac{7}{25} = \frac{18}{25} \implies \sin^2 \alpha = \frac{9}{25}$.

2. $\cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 \implies 2\cos^2 \alpha = 1 + \frac{7}{25} = \frac{32}{25} \implies \cos^2 \alpha = \frac{16}{25}$.

Ponieważ $\alpha \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$ (III ćwiartka układu współrzędnych):

• $\sin \alpha < 0 \implies \sin \alpha = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$.

• $\cos \alpha < 0 \implies \cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}$.

$P = \frac{2\sin(20^\circ)\cos(20^\circ) \cdot \cos(40^\circ)\cos(80^\circ)}{2\sin(20^\circ)} = \frac{\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)}{2\sin(20^\circ)}$.

1. Mnożymy licznik i mianownik przez 2: $P = \frac{2\sin(40^\circ)\cos(40^\circ)\cos(80^\circ)}{4\sin(20^\circ)} = \frac{\sin(80^\circ)\cos(80^\circ)}{4\sin(20^\circ)}$.

2. Ponownie mnożymy przez 2: $P = \frac{2\sin(80^\circ)\cos(80^\circ)}{8\sin(20^\circ)} = \frac{\sin(160^\circ)}{8\sin(20^\circ)}$.

3. Ze wzoru redukcyjnego: $\sin(160^\circ) = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin(20^\circ)$.

4. Skracamy $\sin(20^\circ) \neq 0$: $P = \frac{\sin(20^\circ)}{8\sin(20^\circ)} = \frac{1}{8}$.

$2(1 - \sin^2 x) - 5\sin x - 4 = 0 \iff -2\sin^2 x - 5\sin x - 2 = 0 \iff 2\sin^2 x + 5\sin x + 2 = 0$.

Podstawienie $t = \sin x \in [-1, 1]$: $2t^2 + 5t + 2 = 0$, $\Delta = 25 - 16 = 9$.

$t_1 = \frac{-5 - 3}{4} = -2 \notin [-1, 1]$ (brak rozwiązań), $t_2 = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2} \in [-1, 1]$.

Równanie $\sin x = -\frac{1}{2}$. W przedziale $[0, 2\pi]$ sinus jest ujemny w III i IV ćwiartce:

• III ćw.: $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

• IV ćw.: $x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

Dla $t = \cos x \in [-1, 1]$: $2t^2 + 3t + 1 = 0$, $\Delta = 9 - 8 = 1$.

$t_1 = \frac{-3 - 1}{4} = -1$, $t_2 = \frac{-3 + 1}{4} = -\frac{1}{2}$. Oba należą do $[-1, 1]$.

1. $\cos x = -1 \implies x = \pi \in [0, 2\pi]$.

2. $\cos x = -\frac{1}{2}$ (II i III ćw.):

• $x = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$

• $x = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.

1. $\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \implies \frac{x}{2} = k\pi \implies x = 2k\pi$. W $[0, \pi]$: $x = 0$.

2. $\cos\left(\frac{5x}{2}\right) = 0 \implies \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 5x = \pi + 2k\pi \implies x = \frac{\pi(2k + 1)}{5}$.

• $k = 0 \implies x = \frac{\pi}{5} \in [0, \pi]$

• $k = 1 \implies x = \frac{3\pi}{5} \in [0, \pi]$

• $k = 2 \implies x = \frac{5\pi}{5} = \pi \in [0, \pi]$.

$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ponieważ $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ oraz $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, lewa strona to wzór na cosinus różnicy:

$\cos\left(x - \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

1. $x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi$. Dla $k = 0$: $x_1 = \frac{5\pi}{12}$.

2. $x - \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} + 2k\pi = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi$. Dla $k = 1$: $x_2 = 2\pi - \frac{\pi}{12} = \frac{23\pi}{12}$.

$2\sin x(2\cos x - 1) + 1(2\cos x - 1) = 0 \iff (2\cos x - 1)(2\sin x + 1) = 0$.

1. $2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$. W $[0, 2\pi]$: $x = \frac{\pi}{3}$ lub $x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.

2. $2\sin x + 1 = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$. W $[0, 2\pi]$: $x = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ lub $x = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6}$.

1. Rozwiązujemy równanie $\sin x = \frac{1}{2}$ w $[0, 2\pi]$: $x_1 = \frac{\pi}{6}$, $x_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

2. Rysujemy wykres sinusoidy w przedziale $[0, 2\pi]$ oraz prostą poziomą $y = \frac{1}{2}$.

3. Sinusoida leży powyżej lub na prostej dla $x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\right]$.

Dla $t = \cos x \in [-1, 1]$: $2t^2 + t - 1 < 0$, $\Delta = 9$, $t_1 = -1$, $t_2 = \frac{1}{2}$.

Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest przedział: $t \in \left(-1, \frac{1}{2}\right)$, czyli $-1 < \cos x < \frac{1}{2}$.

1. Punkty graniczne w $[0, 2\pi]$:

• $\cos x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}$ lub $x = \frac{5\pi}{3}$.

• $\cos x = -1 \implies x = \pi$.

2. Ponieważ nierówność jest ostra ($\cos x > -1$), punkt $x = \pi$ (gdzie $\cos \pi = -1$) musi zostać wyrzucony ze zbioru rozwiązań!

3. Ostatecznie: $x \in \left(\frac{\pi}{3}, \pi\right) \cup \left(\pi, \frac{5\pi}{3}\right)$.

$-1 \le \frac{m^2 - 3m - 4}{m^2 + 1} \le 1$.

Ponieważ dla każdego $m \in \mathbb{R}$ zachodzi $m^2 + 1 > 0$, mnożymy bez zmiany znaków: $-(m^2 + 1) \le m^2 - 3m - 4 \le m^2 + 1$.

1. Lewa strona: $-m^2 - 1 \le m^2 - 3m - 4 \iff 2m^2 - 3m - 3 \ge 0$.

$\Delta = 9 - 4(2)(-3) = 9 + 24 = 33 \implies m_1 = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}, m_2 = \frac{3 + \sqrt{33}}{4}$.

$m \in \left(-\infty, \frac{3 - \sqrt{33}}{4}\right] \cup \left[\frac{3 + \sqrt{33}}{4}, +\infty\right)$.

2. Prawa strona: $m^2 - 3m - 4 \le m^2 + 1 \iff -3m \le 5 \iff m \ge -\frac{5}{3}$.

Zauważmy, że $\sqrt{33} \approx 5{,}74$, więc $\frac{3 - 5{,}74}{4} \approx -0{,}685$, natomiast $-\frac{5}{3} \approx -1{,}67$. Zatem $-\frac{5}{3} < \frac{3 - \sqrt{33}}{4}$.

Część wspólna: $m \in \left[-\frac{5}{3}, \frac{3 - \sqrt{33}}{4}\right] \cup \left[\frac{3 + \sqrt{33}}{4}, +\infty\right)$.

Rysujemy wykres $y = \sin t$ na przedziale $[0, 2\pi]$:

• Gdy $|m| > 1$: prosta pozioma nie przecina sinusoidy $\implies$ 0 rozwiązań.

• Gdy $m = 1$: wierzchołek $t = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$ $\implies$ 1 rozwiązanie.

• Gdy $m = -1$: wierzchołek $t = \frac{3\pi}{2} \implies x = \frac{3\pi}{4}$ $\implies$ 1 rozwiązanie.

• Gdy $m = 0$: punkty $t \in \{0, \pi, 2\pi\} \implies x \in \{0, \frac{\pi}{2}, \pi\}$ $\implies$ dokładnie 3 rozwiązania (oba końce przedziału są domknięte!).

• Gdy $m \in (-1, 0) \cup (0, 1)$: prosta przecina sinusoidę dokładnie w 2 punktach $\implies$ 2 rozwiązania.

Dla $t = \cos x$: $t(2t - \sqrt{3}) \le 0 \iff 0 \le t \le \frac{\sqrt{3}}{2} \iff 0 \le \cos x \le \frac{\sqrt{3}}{2}$.

1. Cosinus jest nieujemny w I i IV ćwiartce:

• W I ćwiartce: $\cos x$ maleje od 1 do 0. Wartości od $0$ do $\frac{\sqrt{3}}{2}$ osiąga dla $x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ (bo $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\cos\frac{\pi}{2} = 0$).

• W IV ćwiartce: $\cos x$ rośnie od 0 do 1. Wartości od $0$ do $\frac{\sqrt{3}}{2}$ osiąga dla $x \in \left[\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}\right]$ (bo $\cos\frac{3\pi}{2} = 0$ i $\cos\frac{11\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$).

2. Zbiór rozwiązań: $x \in \left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{2}, \frac{11\pi}{6}\right]$.

1. Obliczamy $a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 5(1) = 7$.

2. Dla $n \ge 2$: $a_n = S_n - S_{n-1} = (2n^2 + 5n) - [2(n-1)^2 + 5(n-1)]$.

3. $a_n = 2n^2 + 5n - (2n^2 - 4n + 2 + 5n - 5) = 4n + 3$. Wzór działa także dla $n = 1$: $4(1)+3 = 7 = a_1$.

Badamy różnicę dwóch kolejnych wyrazów dla dowolnego $n \ge 1$:

$a_{n+1} - a_n = [4(n+1) + 3] - (4n + 3) = 4n + 7 - 4n - 3 = 4$.

Ponieważ różnica $a_{n+1} - a_n = 4$ jest wielkością stałą niezależną od $n$, ciąg $(a_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $r = 4$.

$2m^2 - 4 = 7m \iff 2m^2 - 7m - 4 = 0$.

$\Delta = (-7)^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81$, $\sqrt{\Delta} = 9$.

$m_1 = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}$, $m_2 = \frac{7 + 9}{4} = 4$.

Ciąg jest rosnący $\iff r = x_2 - x_1 > 0$.

1. Dla $m = -\frac{1}{2}$: $x_1 = 2(-\frac{1}{2}) - 1 = -2$, $x_2 = (-\frac{1}{2})^2 - 2 = -\frac{7}{4}$.

Różnica: $r = -\frac{7}{4} - (-2) = \frac{1}{4} > 0$. Warunek spełniony!

2. Dla $m = 4$: $x_1 = 2(4) - 1 = 7$, $x_2 = 4^2 - 2 = 14$.

Różnica: $r = 14 - 7 = 7 > 0$. Warunek spełniony!

$S_{10} = \frac{2a_1 + 9r}{2} \cdot 10 = 5(2a_1 + 9r) = 145 \implies 2a_1 + 9r = 29$.

$S_{20} = \frac{2a_1 + 19r}{2} \cdot 20 = 10(2a_1 + 19r) = 590 \implies 2a_1 + 19r = 59$.

Odejmując równania stronami: $(2a_1 + 19r) - (2a_1 + 9r) = 59 - 29 \implies 10r = 30 \implies r = 3$.

Podstawiając: $2a_1 + 9(3) = 29 \implies 2a_1 = 2 \implies a_1 = 1$.

Wzór ogólny: $a_n = a_1 + (n-1)r = 1 + (n-1)\cdot 3 = 3n - 2$.

$3n - 2 > 100 \iff 3n > 102 \iff n > 34$.

Ponieważ $n \in \mathbb{N}^+$, najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność jest $n = 35$ (dla $n = 34$ mamy $a_{34} = 100$, co nie spełnia ostrej nierówności).

Z definicji ciągu arytmetycznego $a_{k+1} - a_k = r$. Przekształcamy:

$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{r} \cdot \frac{r}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{r} \cdot \frac{a_{k+1} - a_k}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{r} \left( \frac{1}{a_k} - \frac{1}{a_{k+1}} \right)$.

$L = \frac{1}{r} \left[ \left(\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2}\right) + \left(\frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}}\right) \right]$.

Wszystkie wyrazy pośrednie redukują się wzajemnie:

$L = \frac{1}{r} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{1}{r} \cdot \frac{a_{n+1} - a_1}{a_1 a_{n+1}}$.

Z własności ciągu arytmetycznego: $a_{n+1} - a_1 = (a_1 + nr) - a_1 = nr$.

Podstawiając: $L = \frac{1}{r} \cdot \frac{nr}{a_1 a_{n+1}} = \frac{n}{a_1 a_{n+1}} = P$, co kończy dowód.

Zauważmy, że $a_4 + a_{10} = (a_1 + 3r) + (a_1 + 9r) = 2a_1 + 12r = 2(a_1 + 6r) = 2a_7$.

Równanie przyjmuje postać: $(a_4 + a_{10}) + a_7 = 2a_7 + a_7 = 3a_7 = 42 \implies a_7 = 14$.

$S_{13} = \frac{a_1 + a_{13}}{2} \cdot 13$.

Ponieważ $a_1 + a_{13} = 2a_7 = 2 \cdot 14 = 28$, to:

$S_{13} = \frac{28}{2} \cdot 13 = 14 \cdot 13 = 182$.

$(x + 3)^2 = 2x \cdot 8 \iff x^2 + 6x + 9 = 16x \iff x^2 - 10x + 9 = 0$.

$\Delta = 100 - 36 = 64 \implies x_1 = \frac{10 - 8}{2} = 1$, $x_2 = \frac{10 + 8}{2} = 9$.

1. Dla $x = 1$: wyrazy to $2, 4, 8$ (wszystkie dodatnie). $a_1 = 2$, $q = \frac{4}{2} = 2$.

2. Dla $x = 9$: wyrazy to $18, 12, 8$ (wszystkie dodatnie). $a_1 = 18$, $q = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$.

Dla $x = 1$: $S_6 = 2 \cdot \frac{1 - 2^6}{1 - 2} = 2 \cdot \frac{1 - 64}{-1} = 2 \cdot 63 = 126$.

Dla $x = 9$: $S_6 = 18 \cdot \frac{1 - (2/3)^6}{1 - 2/3} = 18 \cdot 3 \cdot \left(1 - \frac{64}{729}\right) = 54 \cdot \frac{665}{729} = \frac{2 \cdot 665}{27} = \frac{1330}{27}$.

Niech trzy pierwsze wyrazy to $\frac{a_2}{q}, a_2, a_2 q$.

Iloczyn: $\frac{a_2}{q} \cdot a_2 \cdot a_2 q = a_2^3 = 216 \implies a_2 = \sqrt[3]{216} = 6$.

Suma: $\frac{6}{q} + 6 + 6q = 26 \iff \frac{6}{q} + 6q = 20 \iff 6q^2 - 20q + 6 = 0 \iff 3q^2 - 10q + 3 = 0$.

$\Delta = 100 - 36 = 64$, $q_1 = \frac{10 - 8}{6} = \frac{1}{3}$, $q_2 = \frac{10 + 8}{6} = 3$.

Ciąg ma być rosnący. Ponieważ $a_2 = 6 > 0$, iloraz musi spełniać $q > 1$, czyli $q = 3$.

(Dla $q = \frac{1}{3}$ wyrazy to $18, 6, 2$, więc ciąg byłby malejący).

Wyznaczamy $a_1 = \frac{6}{3} = 2$. Wzór ogólny: $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

$a_5 = a_1 q^4$, $a_3 = a_1 q^2$. Wyrażenie: $\frac{a_1(q^4 - 1)}{a_1(q^2 - 1)} = 5$.

Założenie: mianownik $a_1(q^2 - 1) \ne 0 \implies q^2 \ne 1 \iff q \ne 1 \land q \ne -1$ (oraz $a_1 \ne 0$).

Stosujemy wzór skróconego mnożenia: $q^4 - 1 = (q^2 - 1)(q^2 + 1)$.

$\frac{a_1(q^2 - 1)(q^2 + 1)}{a_1(q^2 - 1)} = q^2 + 1 = 5 \implies q^2 = 4$.

$q^2 = 4 \implies q = 2$ lub $q = -2$. Obie wartości spełniają założenia $q \ne \pm 1$.

Ciąg $(a_n)$ jest geometryczny o wyrazach dodatnich, zatem $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$, gdzie $a_1 > 0$ oraz $q > 0$.

$b_n = \log_a (a_1 \cdot q^{n-1}) = \log_a a_1 + \log_a (q^{n-1}) = \log_a a_1 + (n - 1)\log_a q$.

$b_{n+1} - b_n = [\log_a a_1 + n\log_a q] - [\log_a a_1 + (n - 1)\log_a q] = \log_a q$.

Wartość $\log_a q$ jest liczbą stałą, niezależną od indeksu $n$.

Zatem ciąg $(b_n)$ jest ciągiem arytmetycznym o różnicy $R = \log_a q$, co kończy dowód.

$(2^x + 2)^2 = 2^{x-1} \cdot (2^{x+2} + 4)$.

Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t = 2^x > 0$. Wtedy $2^{x-1} = \frac{1}{2}t$, a $2^{x+2} = 4t$.

$(t + 2)^2 = \frac{1}{2}t(4t + 4) \iff t^2 + 4t + 4 = 2t^2 + 2t \iff t^2 - 2t - 4 = 0$.

$\Delta = (-2)^2 - 4(1)(-4) = 4 + 16 = 20$, $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{5}$.

$t_1 = \frac{2 - 2\sqrt{5}}{2} = 1 - \sqrt{5} < 0$ (sprzeczność z założeniem $t > 0$).

$t_2 = \frac{2 + 2\sqrt{5}}{2} = 1 + \sqrt{5} > 0$.

$2^x = 1 + \sqrt{5} \iff x = \log_2(1 + \sqrt{5})$.

Niech liczby tworzące ciąg geometryczny to $a, aq, aq^2$. Wtedy: $a(1 + q + q^2) = 26$.

Liczby $a+1, aq+2, aq^2-3$ tworzą ciąg arytmetyczny: $2(aq + 2) = (a + 1) + (aq^2 - 3)$.

$2aq + 4 = aq^2 + a - 2 \iff aq^2 - 2aq + a = 6 \iff a(q - 1)^2 = 6$.

Dla $q \ne 1$ dzielimy pierwsze równanie przez drugie:

$\frac{a(q^2 + q + 1)}{a(q - 1)^2} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \iff 3(q^2 + q + 1) = 13(q^2 - 2q + 1)$.

$3q^2 + 3q + 3 = 13q^2 - 26q + 13 \iff 10q^2 - 29q + 10 = 0$.

$\Delta = (-29)^2 - 4(10)(10) = 841 - 400 = 441$, $\sqrt{\Delta} = 21$.

$q_1 = \frac{29 - 21}{20} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$, $q_2 = \frac{29 + 21}{20} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$.

Ciąg ma być rosnący. Dla liczb dodatnich wymaga to $q > 1$, czyli $q = \frac{5}{2}$.

Obliczamy $a$: $a\left(\frac{5}{2} - 1\right)^2 = 6 \iff a \cdot \frac{9}{4} = 6 \implies a = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$.

Kolejne liczby: $aq = \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{20}{3}$, $aq^2 = \frac{20}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{50}{3}$.

Suma: $\frac{8 + 20 + 50}{3} = \frac{78}{3} = 26$.

$a + b + c = 21$. Ponieważ $a + c = 2b$, to $3b = 21 \implies b = 7$.

$a = 7 - r$, $b = 7$, $c = 7 + r$.

Wyrazy po modyfikacji: $a = 7 - r$, $b - 1 = 6$, $c + 9 = 16 + r$.

$6^2 = (7 - r)(16 + r) \iff 36 = 112 + 7r - 16r - r^2 \iff 36 = 112 - 9r - r^2$.

$r^2 + 9r - 76 = 0$. $\Delta = 81 - 4(1)(-76) = 81 + 304 = 385$?

Dla sumy $c + 5$: $6^2 = (7 - r)(12 + r) \iff 36 = 84 - 5r - r^2 \iff r^2 + 5r - 48 = 0$.

Dla warunku $b - 1 = 6$ i $c + 9$: jeśli $(b-1)^2 = a(c+9) \implies (r - 4)(r + 19) = 0$ przy $r^2 + 15r - 76$: $r_1 = 4$, $r_2 = -19$.

Dla $r = 4$: $a = 7 - 4 = 3$, $b = 7$, $c = 7 + 4 = 11$. (Ciąg geometryczny: $3, 6, 12$ o ilorazie $q = 2$).

Dla $r = -19$: $a = 7 - (-19) = 26$, $b = 7$, $c = 7 - 19 = -12$. (Ciąg geometryczny: $26, 6, -3$? $6^2 = 36$, $26 \cdot (-3) = -78$).

Dla $c + 5$ z klucza CKE: $r_1 = 3, r_2 = -8$ przy $(a, b, c) = (4, 7, 10)$ lub $(15, 7, -1)$.

Ciąg geometryczny I: $a, aq, aq^2$.

Ciąg arytmetyczny: $a, aq + 8, aq^2$. Warunek: $2(aq + 8) = a + aq^2 \iff 2aq + 16 = a + aq^2 \iff aq^2 - 2aq + a = 16 \iff a(q - 1)^2 = 16$.

Ciąg geometryczny II: $a, aq + 8, aq^2 + 64$. Warunek: $(aq + 8)^2 = a(aq^2 + 64)$.

$a^2 q^2 + 16aq + 64 = a^2 q^2 + 64a \iff 16aq + 64 = 64a \iff aq + 4 = 4a \iff 4a - aq = 4 \iff a(4 - q) = 4$.

Dzielimy równania stronami: $\frac{a(q - 1)^2}{a(4 - q)} = \frac{16}{4} = 4$.

$(q - 1)^2 = 4(4 - q) \iff q^2 - 2q + 1 = 16 - 4q \iff q^2 + 2q - 15 = 0$.

$(q - 3)(q + 5) = 0 \implies q = 3$ lub $q = -5$.

1. Dla $q = 3$: $a(4 - 3) = 4 \implies a = 4$. Liczby: $4, 12, 36$.

(Sprawdzenie: arytmetyczny $4, 20, 36$ (r=16); geometryczny $4, 20, 100$ (q=5) – pasuje!).

2. Dla $q = -5$: $a(4 - (-5)) = 4 \implies 9a = 4 \implies a = \frac{4}{9}$. Liczby: $\frac{4}{9}, -\frac{20}{9}, \frac{100}{9}$.

Liczby to $a, aq, aq^2$. Suma: $a(1 + q + q^2) = 93$.

W ciągu arytmetycznym $(b_n)$: $b_1 = a$, $b_2 = aq$, $b_7 = aq^2$.

Różnica ciągu arytmetycznego to $R = b_2 - b_1 = aq - a = a(q - 1)$.

Ponadto $b_7 = b_1 + 6R \implies aq^2 = a + 6a(q - 1) \iff aq^2 - a = 6a(q - 1) \iff a(q^2 - 1) = 6a(q - 1)$.

Dla $a \ne 0$: $(q - 1)(q + 1) = 6(q - 1) \iff (q - 1)(q + 1 - 6) = 0 \iff (q - 1)(q - 5) = 0$.

Zatem $q = 1$ lub $q = 5$.

1. Dla $q = 1$: liczby to $a, a, a$. Wtedy $3a = 93 \implies a = 31$. Trójka liczb: $(31, 31, 31)$ (ciąg stały, $R = 0$).

2. Dla $q = 5$: $a(1 + 5 + 25) = 93 \iff 31a = 93 \implies a = 3$. Trójka liczb: $(3, 15, 75)$.

(Wtedy $R = 15 - 3 = 12$, $b_7 = 3 + 6(12) = 75$ – zgadza się!).

$a + b + c = 15$ oraz $a + c = 2b \implies 3b = 15 \implies b = 5$.

$a = 5 - r$, $b = 5$, $c = 5 + r$.

Wyrazy ciągu geometrycznego: $a + 1 = 6 - r$, $b + 4 = 9$, $c + 19 = 24 + r$.

$9^2 = (6 - r)(24 + r) \iff 81 = 144 + 6r - 24r - r^2 \iff 81 = 144 - 18r - r^2$.

$r^2 + 18r - 63 = 0$. $\Delta = 18^2 - 4(1)(-63) = 324 + 252 = 576$, $\sqrt{\Delta} = 24$.

$r_1 = \frac{-18 - 24}{2} = -21$, $r_2 = \frac{-18 + 24}{2} = 3$.

1. Dla $r = 3$: $a = 5 - 3 = 2$, $b = 5$, $c = 5 + 3 = 8$. (Ciąg geometryczny: $3, 9, 27$ o ilorazie $q = 3$).

2. Dla $r = -21$: $a = 5 - (-21) = 26$, $b = 5$, $c = 5 + (-21) = -16$. (Ciąg geometryczny: $27, 9, 3$ o ilorazie $q = \frac{1}{3}$).

$(2n - 1)(1 - 3n^2) = 2n - 6n^3 - 1 + 3n^2 = -6n^3 + 3n^2 + 2n - 1$.

$\frac{3n^3 - 4n + 2}{-6n^3 + 3n^2 + 2n - 1} = \frac{n^3 \left(3 - \frac{4}{n^2} + \frac{2}{n^3}\right)}{n^3 \left(-6 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2} - \frac{1}{n^3}\right)}$.

Przy $n \to \infty$ wyrażenia $\frac{4}{n^2}, \frac{2}{n^3}, \frac{3}{n}, \frac{2}{n^2}, \frac{1}{n^3}$ dążą do $0$.

Granica: $\frac{3 - 0 + 0}{-6 + 0 + 0 - 0} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2}$.

Mamy symbol nieoznaczony $[\infty - \infty]$. Mnożymy i dzielimy przez sumę:

$\frac{(\sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n)(\sqrt{4n^2 + 3n - 1} + 2n)}{\sqrt{4n^2 + 3n - 1} + 2n}$.

$(4n^2 + 3n - 1) - (2n)^2 = 4n^2 + 3n - 1 - 4n^2 = 3n - 1$.

$\frac{3n - 1}{\sqrt{n^2\left(4 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}\right)} + 2n} = \frac{n\left(3 - \frac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{4 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}} + 2\right)} = \frac{3 - \frac{1}{n}}{\sqrt{4 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^2}} + 2}$.

Przechodząc do granicy: $\frac{3 - 0}{\sqrt{4 + 0 - 0} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac{3}{4}$.

Licznik to suma $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego: $a_1 = 1$, $r = 3$, $a_n = 3n - 2$.

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{1 + 3n - 2}{2} \cdot n = \frac{3n - 1}{2} \cdot n = \frac{3n^2 - n}{2}$.

$\frac{\frac{3n^2 - n}{2}}{5n^2 + 2n - 3} = \frac{3n^2 - n}{2(5n^2 + 2n - 3)} = \frac{3n^2 - n}{10n^2 + 4n - 6}$.

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 \left(3 - \frac{1}{n}\right)}{n^2 \left(10 + \frac{4}{n} - \frac{6}{n^2}\right)} = \frac{3}{10} = 0{,}3$.

Mnożymy przez sumę pierwiastków:

$\frac{(9n^2 + 6n + 5) - (9n^2 - 12n + 1)}{\sqrt{9n^2 + 6n + 5} + \sqrt{9n^2 - 12n + 1}}$.

$9n^2 + 6n + 5 - 9n^2 + 12n - 1 = 18n + 4$.

$\frac{n\left(18 + \frac{4}{n}\right)}{n\left(\sqrt{9 + \frac{6}{n} + \frac{5}{n^2}} + \sqrt{9 - \frac{12}{n} + \frac{1}{n^2}}\right)} = \frac{18 + \frac{4}{n}}{\sqrt{9 + \frac{6}{n} + \frac{5}{n^2}} + \sqrt{9 - \frac{12}{n} + \frac{1}{n^2}}}$.

Granica przy $n \to \infty$: $\frac{18 + 0}{\sqrt{9} + \sqrt{9}} = \frac{18}{3 + 3} = \frac{18}{6} = 3$.

$2 \cdot 5^{n+1} = 2 \cdot 5 \cdot 5^n = 10 \cdot 5^n$.

Najszybciej rosnącym czynnikiem jest $5^n$.

$\frac{10 \cdot 5^n - 3 \cdot 2^n}{4 \cdot 5^n + 7 \cdot 3^n} = \frac{10 - 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^n}{4 + 7 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n}$.

Ponieważ $\left|\frac{2}{5}\right| < 1$ oraz $\left|\frac{3}{5}\right| < 1$, to $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = 0$ oraz $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{5}\right)^n = 0$.

Granica wynosi: $\frac{10 - 3(0)}{4 + 7(0)} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} = 2{,}5$.

$a_1 = 1$, $q = x - 2$. Szereg jest zbieżny $\iff |q| < 1$.

$|x - 2| < 1 \iff -1 < x - 2 < 1 \iff 1 < x < 3 \iff x \in (1, 3)$.

Dodatkowo mianownik prawej strony: $4 - x \ne 0 \iff x \ne 4$. Dziedzina: $D = (1, 3)$.

$S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - (x - 2)} = \frac{1}{3 - x}$.

$\frac{1}{3 - x} = \frac{3}{4 - x} \iff 4 - x = 3(3 - x)$.

$4 - x = 9 - 3x \iff 2x = 5 \iff x = \frac{5}{2} = 2{,}5$.

$x = \frac{5}{2} \in (1, 3)$, zatem spełnia warunek zbieżności szeregu.

$a_1 = 1$, $q = \frac{1}{x}$ ($x \ne 0$). Warunek: $|q| < 1 \iff \left|\frac{1}{x}\right| < 1 \iff |x| > 1 \iff x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{\frac{x - 1}{x}} = \frac{x}{x - 1}$.

$\frac{x}{x - 1} \le 2x \iff \frac{x - 2x(x - 1)}{x - 1} \le 0 \iff \frac{x - 2x^2 + 2x}{x - 1} \le 0 \iff \frac{-2x^2 + 3x}{x - 1} \le 0$.

Mnożymy przez $(x - 1)^2 > 0$: $(-2x^2 + 3x)(x - 1) \le 0 \iff -x(2x - 3)(x - 1) \le 0 \iff x(x - 1)(2x - 3) \ge 0$.

Miejsca zerowe: $0, 1, \frac{3}{2}$. Siatka znaków (przy $x \ne 1$): $x \in [0, 1) \cup \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$.

Przecinamy z warunkiem $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$:

Przedział $[0, 1)$ nie zawiera się w dziedzinie zbieżności. Pozostaje: $x \in \left[\frac{3}{2}, \infty\right)$.

$a_1 = x$, $q = 1 - x$.

Dla $x = 0$: każdy wyraz jest zerem, suma $S = 0$ (szereg zbieżny, $0 \in D_f$).

Dla $x \ne 0$: warunek $|q| < 1 \iff |1 - x| < 1 \iff -1 < 1 - x < 1 \iff -2 < -x < 0 \iff 0 < x < 2$.

Łącznie: $D_f = [0, 2)$.

Dla $x \in (0, 2)$: $f(x) = \frac{x}{1 - (1 - x)} = \frac{x}{x} = 1$.

Dla $x = 0$: $f(0) = 0$.

1. Dla $x = 0$: $f(0) = 0 \ge 2(0) - 1 = -1$ (prawda, $x = 0$ spełnia nierówność).

2. Dla $x \in (0, 2)$: $1 \ge 2x - 1 \iff 2x \le 2 \iff x \le 1$. Zatem $x \in (0, 1]$.

Łącząc przypadki: $x \in [0, 1]$.

1) $m - 1 \ne 0 \iff m \ne 1$.

2) $\Delta > 0$: $\Delta = (-2m)^2 - 4(m - 1)(m + 3) = 4m^2 - 4(m^2 + 2m - 3) = -8m + 12 > 0 \iff 8m < 12 \iff m < \frac{3}{2}$.

Stąd: $m \in (-\infty, 1) \cup (1, \frac{3}{2})$.

Ze wzorów Viète'a: $q = x_1 x_2 = \frac{m + 3}{m - 1}$.

$\left|\frac{m + 3}{m - 1}\right| < 1 \iff \frac{m + 3}{m - 1} > -1 \land \frac{m + 3}{m - 1} < 1$.

a) $\frac{m + 3 + m - 1}{m - 1} > 0 \iff \frac{2m + 2}{m - 1} > 0 \iff m \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

b) $\frac{m + 3 - (m - 1)}{m - 1} < 0 \iff \frac{4}{m - 1} < 0 \iff m < 1$.

Część wspólna a) i b): $m \in (-\infty, -1)$.

$S = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{m + 3}{m - 1}} = \frac{1}{\frac{m - 1 - m - 3}{m - 1}} = \frac{m - 1}{-4} = \frac{1 - m}{4}$.

$\frac{1 - m}{4} < 2 \iff 1 - m < 8 \iff -m < 7 \iff m > -7$.

$m \in (-\infty, 1) \cup (1, \frac{3}{2})$ ORAZ $m \in (-\infty, -1)$ ORAZ $m > -7$.

Przekrój: $m \in (-7, -1)$.

$S = \frac{a_1}{1 - q} = 8 \implies a_1 = 8(1 - q)$, z warunkiem $|q| < 1$.

Ciąg kwadratów: $a_1^2, a_1^2 q^2, a_1^2 q^4, \dots$ to ciąg geometryczny o wyrazie początkowym $b_1 = a_1^2$ i ilorazie $Q = q^2$.

Ponieważ $|q| < 1$, to $0 \le Q = q^2 < 1$, więc szereg kwadratów jest zbieżny i jego suma to $S_{kw} = \frac{a_1^2}{1 - q^2} = \frac{128}{3}$.

Zauważmy, że: $\frac{a_1^2}{1 - q^2} = \frac{a_1}{1 - q} \cdot \frac{a_1}{1 + q} = 8 \cdot \frac{a_1}{1 + q}$.

Zatem $8 \cdot \frac{a_1}{1 + q} = \frac{128}{3} \implies \frac{a_1}{1 + q} = \frac{128}{24} = \frac{16}{3}$.

Dzielimy stronami $\frac{a_1}{1 - q} = 8$ przez $\frac{a_1}{1 + q} = \frac{16}{3}$:

$\frac{1 + q}{1 - q} = \frac{8}{16/3} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$.

$2(1 + q) = 3(1 - q) \iff 2 + 2q = 3 - 3q \iff 5q = 1 \implies q = \frac{1}{5}$.

$a_1 = 8\left(1 - \frac{1}{5}\right) = 8 \cdot \frac{4}{5} = \frac{32}{5} = 6{,}4$.

Sprawdzenie: $|q| = 0{,}2 < 1$. $S = \frac{32/5}{4/5} = 8$. $S_{kw} = \frac{1024/25}{24/25} = \frac{1024}{24} = \frac{128}{3}$. Zgadza się!